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2020届湖南省株洲市中考数学模拟试卷(有答案)(word版)(已审阅)

发布时间:

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湖南省株洲市中考数学试卷

一、选择题(每小题只有一个正确答案,本题共 10 小题,共 30 分) 1.下列数中,﹣3 的倒数是( )

A.﹣ B. C.﹣3 D.3

2.下列等式错误的是( )

A.(2mn)2=4m2n2 B.(﹣2mn)2=4m2n2

C.(2m2n2)3=8m6n6 D.(﹣2m2n2)3=﹣8m5n5

3.甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的*均成绩(环)及方差统计如表,现要根据这些数据,从中选出

一人参加比赛,如果你是教练员,你的选择是( )

队员 *均成绩

方差



9.7

2.12



9.6

0.56



9.7

0.56



9.6

1.34

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

4.如图,在三角形 ABC 中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点 C 沿顺时针方向旋转后得到三角形 A′B′C,

若点 B′恰好落在线段 AB 上,AC、A′B′交于点 O,则∠COA′的度数是( )

A.50° B.60° C.70° D.80°

5.不等式

的解集在数轴上表示为( )

A. D.

B.

C.

6.在解方程

时,方程两边同时乘以 6,去分母后,正确的是( )

A.2x﹣1+6x=3(3x+1) B.2(x﹣1)+6x=3(3x+1) C.2(x﹣1)+x=3(3x+1) D.(x﹣1)+x=3(x+1) 7.已知四边形 ABCD 是*行四边形,对角线 AC、BD 交于点 O,E 是 BC 的中点,以下说法错误的是( )

A.OE= DCB.OA=OC C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE
8.如图,以直角三角形 a、b、c 为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情 况的面积关系满足 S1+S2=S3 图形个数有( )

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A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知,如图一次函数 y1=ax+b 与反比例函数 y2= 的图象如图示,当 y1<y2 时,x 的取值范围是( )

A.x<2 B.x>5 C.2<x<5 D.0<x<2 或 x>5 10.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 A(﹣1,2),B(2,5),顶点坐标为(m,n),则下 列说法错误的是( )

A.c<3 B.m≤

C.n≤2 D.b<1

二、填空题(本题共 8 小题,每题 3 分,共 24 分)

11.计算:3a﹣(2a﹣1)=



12.据民政部网站消息,截至 2014 年底,我国 60 岁以上老年人口已经达到 2.12 亿,其中 2.12 亿用科学记

数法表示为



13.从 1,2,3…99,100 个整数中,任取一个数,这个数大于 60 的概率是



14.如图,正六边形 ABCDEF 内接于半径为 3 的圆 O,则劣弧 AB 的长度为



15.分解因式:(x﹣8)(x+2)+6x=



16.△ABC 的内切圆的三个切点分别为 D、E、F,∠A=75°,∠B=45°,则圆心角∠EOF=

度.

17.已知 A、B、C、D 是*面坐标系中坐标轴上的点,且△AOB≌△COD.设直线 AB 的表达式为 y1=k1x+b1,

直线 CD 的表达式为 y2=k2x+b2,则 k1?k2=



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18.已知点 P 是△ABC 内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则 P 点叫△ABC 的费马点(Fermat

point).已经证明:在三个内角均小于 120°的△ABC 中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,P 就是△ABC

的费马点.若点 P 是腰长为 的等腰直角三角形 DEF 的费马点,则 PD+PE+PF=



三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分)

19.计算:



20.先化简,再求值:

,其中 x=3.

21.某社区从 2011 年开始,组织全民健身活动,结合社区条件,开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四

个活动项目,现将参加项目活动总人数进行统计,并绘制成每年参加总人数折线统计图和 2015 年各活动项

目参与人数的扇形统计图,请你根据统计图解答下列题

(1)2015 年比 2011 年增加

人;

(2)请根据扇形统计图求出 2015 年参与跑步项目的人数;

(3)组织者预计 2016 年参与人员人数将比 2015 年的人数增加 15%,名各活动项目参与人数的百分比与 2016

年相同,请根据以上统*峁兰 2016 年参加太极拳的人数.

22.某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核,规定如下:考核综合评价得分由测试成绩(满分 100 分)和*时成绩(满分 100 分)两部分组成,其中测试成绩占 80%,*时成绩占 20%,并且当综合评价 得分大于或等于 80 分时,该生综合评价为 A 等. (1)孔明同学的测试成绩和*时成绩两项得分之和为 185 分,而综合评价得分为 91 分,则孔明同学测试 成绩和*时成绩各得多少分? (2)某同学测试成绩为 70 分,他的综合评价得分有可能达到 A 等吗?为什么? (3)如果一个同学综合评价要达到 A 等,他的测试成绩至少要多少分? 23.已知正方形 ABCD 中,BC=3,点 E、F 分别是 CB、CD 延长线上的点,DF=BE,连接 AE、AF,过点 A 作 AH⊥ED 于 H 点. (1)求证:△ADF≌△ABE; (2)若 BE=1,求 tan∠AED 的值.

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24.*行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C 在反比例函数 y= (k≠0)图象上,点 B、D 在 x 轴上,且 B、 D 两点关于原点对称,AD 交 y 轴于 P 点 (1)已知点 A 的坐标是(2,3),求 k 的值及 C 点的坐标; (2)若△APO 的面积为 2,求点 D 到直线 AC 的距离.

25.已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径,C 是圆上一点,D 是 BC 延长线上一点,过点 D 的直线交 AC 于 E 点,且△AEF 为等边三角形 (1)求证:△DFB 是等腰三角形; (2)若 DA= AF,求证:CF⊥AB.

26.已知二次函数 y=x2﹣(2k+1)x+k2+k(k>0)

(1)当 k= 时,求这个二次函数的顶点坐标;

(2)求证:关于 x 的一元次方程 x2﹣(2k+1)x+k2+k=0 有两个不相等的实数根; (3)如图,该二次函数与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点的左侧),与 y 轴交于 C 点,P 是 y 轴负半轴

上一点,且 OP=1,直线 AP 交 BC 于点 Q,求证:



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湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题只有一个正确答案,本题共 10 小题,共 30 分) 1.下列数中,﹣3 的倒数是( ) A.﹣ B. C.﹣3 D.3 【考点】倒数. 【分析】根据倒数的定义,用 1÷(﹣3),算出结果即是﹣3 的倒数.
【解答】解:1÷(﹣3)= =﹣ .
故选 A.

2.下列等式错误的是( ) A.(2mn)2=4m2n2 B.(﹣2mn)2=4m2n2 C.(2m2n2)3=8m6n6 D.(﹣2m2n2)3=﹣8m5n5 【考点】幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值,再判断即可. 【解答】解:A、结果是 4m2n2,故本选项错误; B、结果是 4m2n2,故本选项错误; C、结果是 8m6n6,故本选项错误; B、结果是﹣8m6n6,故本选项正确; 故选 D.

3.甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的*均成绩(环)及方差统计如表,现要根据这些数据,从中选出 一人参加比赛,如果你是教练员,你的选择是( )

队员 *均成绩

方差



9.7



9.6



9.7



9.6

A.甲 B.乙

【考点】方差.

C.丙

2.12 0.56 0.56 1.34 D.丁

【分析】首先比较*均数,然后比较方差,方差越小,越稳定.

【解答】解:∵ = =9.7,S2 甲>S2 乙, ∴选择丙.

故选 C.

4.如图,在三角形 ABC 中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点 C 沿顺时针方向旋转后得到三角形 A′B′C, 若点 B′恰好落在线段 AB 上,AC、A′B′交于点 O,则∠COA′的度数是( )

A.50° B.60° C.70° D.80° 【考点】旋转的性质. 【分析】由三角形的内角和为 180°可得出∠A=40°,由旋转的性质可得出 BC=B′C,从而得出∠B=∠ BB′C=50°,再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论. 【解答】解:∵在三角形 ABC 中,∠ACB=90°,∠B=50°,
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∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°. 由旋转的性质可知: BC=B′C, ∴∠B=∠BB′C=50°. 又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′, ∴∠ACB′=10°, ∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°. 故选 B.

5.不等式

的解集在数轴上表示为( )

A.

B.

C.

D.
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集,再根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则判断 即可. 【解答】解:解不等式 2x﹣1≥1,得:x≥1, 解不等式 x﹣2<0,得:x<2, ∴不等式组的解集为:1≤x<2, 故选:C.

6.在解方程

时,方程两边同时乘以 6,去分母后,正确的是( )

A.2x﹣1+6x=3(3x+1) B.2(x﹣1)+6x=3(3x+1) C.2(x﹣1)+x=3(3x+1) D.(x﹣1)+x=3(x+1) 【考点】解一元一次方程. 【分析】方程两边同时乘以 6,化简得到结果,即可作出判断. 【解答】解:方程两边同时乘以 6 得:2(x﹣1)+6x=3(3x+1), 故选 B.

7.已知四边形 ABCD 是*行四边形,对角线 AC、BD 交于点 O,E 是 BC 的中点,以下说法错误的是( )

A.OE= DCB.OA=OC C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE
【考点】*行四边形的性质. 【分析】由*行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项 A、B、C 正确;由 OB≠OC,得出∠OBE≠∠ OCE,选项 D 错误;即可得出结论. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是*行四边形, ∴OA=OC,OB=OD,AB∥DC, 又∵点 E 是 BC 的中点, ∴OE 是△BCD 的中位线,
∴OE= DC,OE∥DC,
∴OE∥AB, ∴∠BOE=∠OBA, ∴选项 A、B、C 正确; ∵OB≠OC, ∴∠OBE≠∠OCE,
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∴选项 D 错误; 故选:D.
8.如图,以直角三角形 a、b、c 为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情 况的面积关系满足 S1+S2=S3 图形个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】勾股定理. 【分析】根据直角三角形 a、b、c 为边,应用勾股定理,可得 a2+b2=c2. (1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出 3 个三角形的面积;然后根据 a2+b2=c2, 可得 S1+S2=S3. (2)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出 3 个半圆的面积;然后根据 a2+b2=c2,可得 S1+S2=S3. (3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出 3 个等腰直角三角形的面积;然后根 据 a2+b2=c2,可得 S1+S2=S3. (4)第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出 3 个正方形的面积;然后根据 a2+b2=c2,可得 S1+S2=S3. 【解答】解:(1)S1= a2,S2= b2,S3= c2, ∵a2+b2=c2, ∴ a2+ b2= c2, ∴S1+S2=S3.
(2)S1= a2,S2= b2,S3= c2, ∵a2+b2=c2, ∴ a2+ b2= c2, ∴S1+S2=S3.
(3)S1= a2,S2= b2,S3= c2, ∵a2+b2=c2, ∴ a2+ b2= c2, ∴S1+S2=S3. (4)S1=a2,S2=b2,S3=c2, ∵a2+b2=c2, ∴S1+S2=S3. 综上,可得 面积关系满足 S1+S2=S3 图形有 4 个. 故选:D.
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9.已知,如图一次函数 y1=ax+b 与反比例函数 y2= 的图象如图示,当 y1<y2 时,x 的取值范围是( )

A.x<2 B.x>5 C.2<x<5 D.0<x<2 或 x>5 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】根据图象得出两交点的横坐标,找出一次函数图象在反比例图象下方时 x 的范围即可. 【解答】解:根据题意得:当 y1<y2 时,x 的取值范围是 0<x<2 或 x>5. 故选:D.

10.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 A(﹣1,2),B(2,5),顶点坐标为(m,n),则下 列说法错误的是( )

A.c<3 B.m≤

C.n≤2 D.b<1

【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据已知条件得到

,解方程组得到 c=3﹣2a<3,b=1﹣a<1,求得二次函数的对称轴

为 x=﹣ =﹣

= ﹣ < ,根据二次函数的顶点坐标即可得到结论.

【解答】解:由已知可知:



消去 b 得:c=3﹣2a<3, 消去 c 得:b=1﹣a<1,

对称轴:x=﹣ =﹣

=﹣ <,

∵A(﹣1,2),a>0,那么顶点的纵坐标为函数的最小值, ∴n≤2, 故 B 错.

二、填空题(本题共 8 小题,每题 3 分,共 24 分) 11.计算:3a﹣(2a﹣1)= a+1 . 【考点】整式的加减. 【分析】原式去括号合并即可得到结果. 【解答】解:原式=3a﹣2a+1=a+1, 故答案为:a+1.

12.据民政部网站消息,截至 2014 年底,我国 60 岁以上老年人口已经达到 2.12 亿,其中 2.12 亿用科学记 数法表示为 2.12×108 . 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原 数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数; 当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:2.12 亿=212000000=2.12×108, 故答案为:2.12×108.

13.从 1,2,3…99,100 个整数中,任取一个数,这个数大于 60 的概率是 0.4 .
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【考点】概率公式. 【分析】直接利用概率公式计算.
【解答】解:从 1,2,3…99,100 个整数中,任取一个数,这个数大于 60 的概率= 故答案为 0.4.

=0.4.

14.如图,正六边形 ABCDEF 内接于半径为 3 的圆 O,则劣弧 AB 的长度为 π .

【考点】正多边形和圆;弧长的计算. 【分析】求出圆心角∠AOB 的度数,再利用弧长公式解答即可. 【解答】解:如图,连接 OA、OB,

∵ABCDEF 为正六边形, ∴∠AOB=360°× =60°,

的长为

=π.

故答案为:π.

15.分解因式:(x﹣8)(x+2)+6x= (x+4)(x﹣4) . 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】原式去括号、合并同类项后,运用*方差公式分解即可得到结果. 【解答】解:原式=x2+2x﹣8x﹣16+6x =x2﹣16 =(x+4)(x﹣4), 故答案为:(x+4)(x﹣4).

16.△ABC 的内切圆的三个切点分别为 D、E、F,∠A=75°,∠B=45°,则圆心角∠EOF= 120 度.

【考点】三角形的内切圆与内心. 【分析】首先根据∠A=75°,∠B=45°,求出∠C=60°;然后根据△ABC 的内切圆的三个切点分别为 D、E、 F,可得∠OEC=∠OFC=90°,再根据四边形 OEFC 的内角和等于 360°,求出圆心角∠EOF 的度数是多少即 可. 【解答】解:∵∠A=75°,∠B=45°, ∴∠C=180°﹣75°﹣45°
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=105°﹣45° =60° ∵△ABC 的内切圆的三个切点分别为 D、E、F, ∴∠OEC=∠OFC=90°, ∵四边形 OECF 的内角和等于 360°, ∴∠EOF=360°﹣(90°+90°+60°) =360°﹣240° =120° 故答案为:120.
17.已知 A、B、C、D 是*面坐标系中坐标轴上的点,且△AOB≌△COD.设直线 AB 的表达式为 y1=k1x+b1, 直线 CD 的表达式为 y2=k2x+b2,则 k1?k2= 1 .

【考点】两条直线相交或*行问题;全等三角形的性质. 【分析】根据 A(0,a)、B(b,0),得到 OA=a,OB=﹣b,根据全等三角形的性质得到 OC=a,OD=﹣b,
得到 C(a,0),D(0,b),求得 k1= ,k2= ,即可得到结论.
【解答】解:设点 A(0,a)、B(b,0), ∴OA=a,OB=﹣b, ∵△AOB≌△COD, ∴OC=a,OD=﹣b, ∴C(a,0),D(0,b),
∴k1= = ,k2= = ,
∴k1?k2=1, 故答案为:1.

18.已知点 P 是△ABC 内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则 P 点叫△ABC 的费马点(Fermat point).已经证明:在三个内角均小于 120°的△ABC 中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,P 就是△ABC 的费马点.若点 P 是腰长为 的等腰直角三角形 DEF 的费马点,则 PD+PE+PF= +1 . 【考点】解直角三角形;等腰直角三角形. 【分析】根据题意首先画出图形,过点 D 作 DM⊥EF 于点 M,过 E、F 分别作∠MEP=∠MFP=30°就可以得 到满足条件的点 P,根据特殊直角三角形才求出 PE,PF,PM,DP 的长,进而得出答案. 【解答】解:如图:等腰 Rt△DEF 中,DE=DF= , 过点 D 作 DM⊥EF 于点 M,过 E、F 分别作∠MEP=∠MFP=30°, 则 EM=DM=1,
故 cos30°= ,

解得:PE=PF= = ,则 PM= ,

故 DP=1﹣ ,

则 PD+PE+PF=2× +1﹣ 故答案为: +1.

= +1.

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三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分)

19.计算:



【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.

【分析】原式利用算术*方根定义,乘方的意义,以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 【解答】解:原式=3+1﹣2=2.

20.先化简,再求值:

,其中 x=3.

【考点】分式的化简求值. 【分析】首先通分计算括号里面的,再计算乘法,把多项式分解因式后约分,得出化简结果,再代入 x 的 值计算即可.

【解答】解:

=

?

=



当 x=3 时,原式=

=.

21.某社区从 2011 年开始,组织全民健身活动,结合社区条件,开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四 个活动项目,现将参加项目活动总人数进行统计,并绘制成每年参加总人数折线统计图和 2015 年各活动项 目参与人数的扇形统计图,请你根据统计图解答下列题 (1)2015 年比 2011 年增加 990 人; (2)请根据扇形统计图求出 2015 年参与跑步项目的人数; (3)组织者预计 2016 年参与人员人数将比 2015 年的人数增加 15%,名各活动项目参与人数的百分比与 2016 年相同,请根据以上统*峁兰 2016 年参加太极拳的人数.

【考点】折线统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)用 2015 年的人数﹣2011 年的人数即可; (2)用 2015 年总人数×参与跑步项目的人数所占的百分数即可; (3)2015 年总人数×(1+15%)×参加太极拳的人数所占的百分数即可. 【解答】解:(1)1600﹣610=(人); 故答案为:990 人; (2)1600×55%=880(人); 答:2015 年参与跑步项目的人数为 880 人; (3)1600×(1+15%)×(1﹣55%﹣30%﹣5%)=184(人); 答:估计 2016 年参加太极拳的人数为 184 人.
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22.某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核,规定如下:考核综合评价得分由测试成绩(满分 100 分)和*时成绩(满分 100 分)两部分组成,其中测试成绩占 80%,*时成绩占 20%,并且当综合评价 得分大于或等于 80 分时,该生综合评价为 A 等. (1)孔明同学的测试成绩和*时成绩两项得分之和为 185 分,而综合评价得分为 91 分,则孔明同学测试 成绩和*时成绩各得多少分? (2)某同学测试成绩为 70 分,他的综合评价得分有可能达到 A 等吗?为什么? (3)如果一个同学综合评价要达到 A 等,他的测试成绩至少要多少分? 【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用. 【分析】(1)分别利用孔明同学的测试成绩和*时成绩两项得分之和为 185 分,而综合评价得分为 91 分, 分别得出等式求出答案; (2)利用测试成绩占 80%,*时成绩占 20%,进而得出答案; (3)首先假设*时成绩为满分,进而得出不等式,求出测试成绩的最小值. 【解答】解:(1)设孔明同学测试成绩为 x 分,*时成绩为 y 分,依题意得:
解之得:
答:孔明同学测试成绩位 90 分,*时成绩为 95 分;
(2)由题意可得:80﹣70×80%=24, 24÷20%=120>100,故不可能.
(3)设*时成绩为满分,即 100 分,综合成绩为 100×20%=20, 设测试成绩为 a 分,根据题意可得:20+80%a≥80, 解得:a≥75 答:他的测试成绩应该至少为 75 分.
23.已知正方形 ABCD 中,BC=3,点 E、F 分别是 CB、CD 延长线上的点,DF=BE,连接 AE、AF,过点 A 作 AH⊥ED 于 H 点. (1)求证:△ADF≌△ABE; (2)若 BE=1,求 tan∠AED 的值.

【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】(1)根据辅助线的性质得到 AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°,由邻补角的定义得到∠ADF=∠ABE=90°, 于是得到结论;

(2)过点 A 作 AH⊥DE 于点 H,根据勾股定理得到 AE= ,ED=

=5,根据三角形的面积

S△ AED= AD×BA= ,S△ ADE= ED×AH= ,求得 AH=1.8,由三角函数的定义即可得到结论.
【解答】解:(1)正方形 ABCD 中, ∵AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°, ∴∠ADF=∠ABE=90°, 在△ADF 与△ABE 中,



//

//
∴△ADF≌△ABE;

(2)过点 A 作 AH⊥DE 于点 H, 在 Rt△ABE 中,∵AB=BC=3, ∵BE=1,

∴AE= ,ED=

=5,

∵S△ AED= AD×BA= ,

S△ ADE= ED×AH= ,

解出 AH=1.8, 在 Rt△AHE 中,EH=2.6,

∴tan∠AED=



24.*行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C 在反比例函数 y= (k≠0)图象上,点 B、D 在 x 轴上,且 B、
D 两点关于原点对称,AD 交 y 轴于 P 点 (1)已知点 A 的坐标是(2,3),求 k 的值及 C 点的坐标; (2)若△APO 的面积为 2,求点 D 到直线 AC 的距离.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;*行四边形的性质.
【分析】(1)根据点 A 的坐标是(2,3),*行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C 在反比例函数 y= (k≠0)
图象上,点 B、D 在 x 轴上,且 B、D 两点关于原点对称,可以求得 k 的值和点 C 的坐标; (2)根据△APO 的面积为 2,可以求得 OP 的长,从而可以求得点 P 的坐标,进而可以求得直线 AP 的解 析式,从而可以求得点 D 的坐标,再根据等积法可以求得点 D 到直线 AC 的距离.
【解答】解:(1)∵点 A 的坐标是(2,3),*行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C 在反比例函数 y= (k≠
0)图象上,点 B、D 在 x 轴上,且 B、D 两点关于原点对称,
∴3= ,点 C 与点 A 关于原点 O 对称,
∴k=6,C(﹣2,﹣3), 即 k 的值是 6,C 点的坐标是(﹣2,﹣3); (2)∵△APO 的面积为 2,点 A 的坐标是(2,3),
//

//



,得 OP=2,

设过点 P(0,2),点 A(2,3)的直线解析式为 y=ax+b,

解得,



即直线 PC 的解析式为 y=



将 y=0 代入 y=

,得 x═﹣4,

∴OP=4, ∵A(2,3),C(﹣2,﹣3),

∴AC=



设点 D 到 AC 的距离为 m, ∵S△ ACD=S△ ODA+S△ ODC,





解得,m=



即点 D 到直线 AC 的距离是



25.已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径,C 是圆上一点,D 是 BC 延长线上一点,过点 D 的直线交 AC 于 E 点,且△AEF 为等边三角形 (1)求证:△DFB 是等腰三角形; (2)若 DA= AF,求证:CF⊥AB.

【考点】圆周角定理;等腰三角形的判定与性质;垂径定理. 【分析】(1)由 AB 是⊙O 直径,得到∠ACB=90°,由于△AEF 为等边三角形,得到∠CAB=∠EFA=60°, 根据三角形的外角的性质即可得到结论; (2)过点 A 作 AM⊥DF 于点 M,设 AF=2a,根据等边三角形的性质得到 FM=EN=a,AM= a,在根据已 知条件得到 AB=AF+BF=8a,根据直角三角形的性质得到 AE=EF=AF=CE=2a,推出∠ECF=∠EFC,根据三 角形的内角和即可得到结论. 【解答】解:(1)∵AB 是⊙O 直径, ∴∠ACB=90°, ∵△AEF 为等边三角形, ∴∠CAB=∠EFA=60°, ∴∠B=30°, ∵∠EFA=∠B+∠FDB, ∴∠B=∠FDB=30°, ∴△DFB 是等腰三角形;
(2)过点 A 作 AM⊥DF 于点 M,设 AF=2a,
//

//
∵△AEF 是等边三角形,∴FM=EN=a,AM= a, 在 Rt△DAM 中,AD= AF=2 a,AM= , ∴DM=5a,∴DF=BF=6a, ∴AB=AF+BF=8a, 在 Rt△ABC 中,∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=4a, ∵AE=EF=AF=CE=2a,∴∠ECF=∠EFC, ∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°,∴∠CFE=30°, ∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°, ∴CF⊥AB.

26.已知二次函数 y=x2﹣(2k+1)x+k2+k(k>0)

(1)当 k= 时,求这个二次函数的顶点坐标;
(2)求证:关于 x 的一元次方程 x2﹣(2k+1)x+k2+k=0 有两个不相等的实数根; (3)如图,该二次函数与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点的左侧),与 y 轴交于 C 点,P 是 y 轴负半轴

上一点,且 OP=1,直线 AP 交 BC 于点 Q,求证:



【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)直接将 k 的值代入函数解析式,进而利用配方法求出顶点坐标; (2)利用根的判别式得出△=1,进而得出答案; (3)根据题意首先表示出 Q 点坐标,以及表示出 OA,AB 的长,再利用两点之间距离求出 AQ 的长,进 而求出答案. 【解答】解:(1)将 k= 代入二次函数可求得,
y=x2+2x+
=(x+1)2﹣ ,
故抛物线的顶点坐标为:(1,﹣ );
//

//
(2)∵一元次方程 x2﹣(2k+1)x+k2+k=0, ∴△=b2﹣4ac=[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+k)=1>0, ∴关于 x 的一元次方程 x2﹣(2k+1)x+k2+k=0 有两个不相等的实数根;
(3)由题意可得:点 P 的坐标为(0,1), 则 0=x2﹣(2k+1)x+k2+k 0=(x﹣k﹣1)(x﹣k), 故 A(k,0),B(k+1,0), 当 x=0,则 y=k2+k, 故 C(0,k2+k) 则 AB=k+1﹣k=1,OA=k, 可得

yBC=﹣kx+k2+k,
当 x﹣1=﹣kx+k2+k,

解得:x=k+



则代入原式可得:y=



则点 Q 坐标为

运用距离公式得:AQ2=(

)2+(

)2=



则 OA2=k2,AB2=1,

故 + = +1=

=,





//




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